적분가능한 함수의 한 점을 임의의 값으로 바꿀지라도 (다시말해 한 점에서 불연속으로 만들지라도) 리만적분 가능하지 않습니까?

최대한 간단히 묻기 위해 증명은 생략했습니다

그러면 사진처럼 모든 자연수 개의 점에서 불연속일지라도 적분가능하다고 생각했습니다

자연수 개수는 가산 개이기에 적분가능한 함수가 가산 개의 점을 임의로 바꿀지라도 적분가능하며 그 값은 동일하다고 보았습니다

책을 뒤져봐도 이런 내용은 없더라구요

그런데 대표적인 적분 불가능한 함수인 f:[0,1]->R, x가 유리수이면 1, 무리수이면 0인 함수를 생각했을 때, 유리수의 개수는 자연수의 개수와 대등하고

따라서 x가 유리수일때 함수값을 임의로 바꿀지라도 (만일 이 함수가 적분가능하다고 가정하여) 적분가능하며 그 값은 동일하다라고 생각했습니다

어떻게 바꿔도 모순이 나온다면 가정이 틀렸을테고 적분불가능이겠지요

그런데 모든 유리수 x에 대해서 함수값을 0로 바꾸면 이 함수는 상수함수 0가 되고 적분가능하며 적분값은 0입니다

분명 저 함수는 적분 불가능이거든요 뭐가 잘못됐을까요..?ㅠㅠ

책을 열심히 뒤져보니 단조함수는 기껏해야 가산 개의 불연속점을 지니며, 어떠한 단조함수라도 적분가능하다고 있습니다

또는 유한 개의 불연속점을 지닌 함수는 적분가능하다고 되어있습니다 무언가 연결고리가 보일것만 같은데 아무리 머리를 쥐어짜도 모르겠네요ㅠㅠ

왜 유한 개만 되고, 가산 개가 되려면 단조라는 정보가 붙어야할까요

도와주세요~!