[문]

A,B,C,D,E 다섯 가지의 카드가 있습니다.

E는 A,B,C,D가 모두 최소 1번 이상 뽑히기 전에는 뽑히지 않습니다.

각각의 선택비(확률)는 5:4:3:3:2 이며, E가 뽑히는 순간 선택은 종료됩니다.

즉, 최초 시행에서의 확률은 E를 고려하지 않은 (5/15):(4/15):(3/15):(3/15) 가 됩니다.

단,  A~D는 1회 이상 뽑혔을 시 선택비가 반감됩니다.

즉, 최초의 A가 뽑힐 확률은 5/15이지만, A가 나온 이후 A가 뽑힐 확률은 2.5/12.5가 되는 거죠.

이는 다른 선택지도 마찬가지어서, B를 뽑고 최초의 A를 뽑는다면 그 확률은 5/13이 됩니다.

A부터 D가 한번씩 모두 뽑혔다면 비로소 E를 뽑을 수 있는 기회가 생기는데, 그 확률은 2.5 : 2 : 1.5 : 1.5 : 2가 되는 셈이죠.

이 때, E를 뽑기 전에 뽑게 되는 카드 개수의 기대값은 얼마입니까?

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이 문제를 엑셀로 풀려고 해 봤는데,

각각을 단 한번씩만 뽑는 경우는 어떻게 노가다로 구할 수 있겠는데요... (E 전에 뽑는 개수가 4개일 때)

E 전에 뽑는 개수가 5개일 때부터 어떻게 이게 자동화가 안 되네요.

'A~D가 모두 뽑힌 뒤 E가 안 뽑힐 확률'을 구해서 곱해나가면 되지 않을까? 생각도 해봤지만 두 가지 문제점이 발생하더군요.

1) 어떤 선택지를 중복할 지 결정의 문제가 있습니다.

E 전에 5개를 뽑는다고 했을 때, A를 두 장 뽑을지, B를 두 장 뽑을지.. 를 결정하는 문제가 있고요,

2) 중복된 선택지의 위치를 결정할 문제가 있습니다.

A를 두장 뽑는다고 한다고 가정하더라도, 중복된 A가 들어가는 '위치'에 따라 그 중복된 A를 뽑을 확률이 16가지가 나옵니다.

제가 구한 표를 보면

선택지	기본	반감	중립	A뽑힘	B	C	D	AB	AC	AD	BC	BD	CD	ABC	ABD	ACD	BCD	ABCD
A	5	2.5	33.33%	20.00%	38.46%	37.04%	37.04%	23.81%	22.73%	22.73%	43.48%	43.48%	41.67%	27.78%	27.78%	26.32%	50.00%	26.32%

가 되는데요....

Treeplan 등 수형도를 쓰면 이전 선택지에 따른 다음 선택지의 확률 계산은 쉽게 할 수 있습니다만, 선택의 회수가 무한해질 때의 무한합을 구할 수 없을 것 같아서 포기했습니다.

어떻게 방법이 없을까요?