제가 왜 이런 글을 쓰기 시작했는지를 먼저 간단히 말씀드려야 겠습니다.
이것은 지금 수학을 잘 하고 있는 사람들은 안보는게 낫습니다. 다만, 수학이 어렵고 수포 혹은 그 직전인 학생들이 받아드리면,
수학이 좀 쉬워질 것이라고 믿기 때문에 말씀드리는 내용이며, 실제 제가 다른 학생들을 이해 시킬때 사용하는 개념입니다.
물론 이글의 시작은 괴물두뇌님이 제기하신 "수학을 잘할 절대 방법" 이 있는가? (제가 잘 요약했는지는 모르겠네요) 에 대한 나름의 생각입니다.
그럼 질문입니다. 숫자의 갯수는 몇개입니까?
물론 대부분 잘 아시다 시피 10진법에서는 10개 입니다. 2진법에서 2개일테고요 16진법에서는 알파벳 f까지 16를 사용하는군요.
뭐 5진법 8진법도 다 가능한 것이고요.
그럼 11은 뭡니까? 숫자 아닙니까? "11" 자체는 숫자가 아니고 수입니다.
숫자는 1 두개가 사용이 된것이고요. 첫번재 숫자 1은 1개를 의미하고, 그 대상은 십입니다. 뒤의 1 역시 1개를 의미하고 그 대상은 일 입니다.
제가 수의 개념을 갯수로 정의하면서 단위를 도입해서 혼란 스럽게 한다고 말씀하시는데 아닙니다. 수체계가 본질적으로 단위를 가져다 쓰고있어요.
그걸 말해주지 않을뿐이죠. 실제로 이름도 그렇게 지어 놨습니다. 십의 자리수 혹은 십단위.
덧셈이나 뺄셈을 할때 이 단위에 대한 개념이 부족하면 늘 자리올림 자리내림등의 과정에서 실수를 발생시킵니다.
소수 1.1 은 뭡니까? 1이 한개 있고 0.1이 한개 있다는 것 아닙니까?
이걸 단위개념이 없이 학습하게 되면 자연수의 셈법을 따로 익히고 소수의 셈법을 따로 익혀야 합니다.
자연수의 사칙연산을 잘하는데 소수의 사칙연산이 안되는 것은 개념의 부족이라고 생각합니다.
우리가 1보다 작은 것을 표현하기 위해 분수를 만들어 놓고 또 소수를 만든것은 바로 이러한 이유죠. 소수는 마치 자연수를 다루는 원리가
적용되므로 우리가 보다 편리하게 사용할 수 있지만, 이러한 개념 설명이 없으면, 새로운 것을 배운냥 어려워들 합니다.
여기에서 0.1이 한개 있다는 것에 동의 하신다면, 이제 곱셈의 교환법칙을 이야기 해야겠습니다.
0.1이 한개 있다는 것은 0.1 X 1 로 표현할 수 있습니다.
그런데 교환법칙이 성립하므로 1 X 0.1로도 표현할 수 있겠네요. 그렇다고한다면 1이 0.1개 있다는 말을 해볼 수 있는 겁니다.
뭐 끝내 0.1개라는 것을 용납할 수 없으신분들은 할 수 없지만, 상상해보세요. 0.1개라는 것이 어떤건지 말이죠.
0.1은 1/10 이므로 1이 1/10개 있다라고 생각하면 비교적 쉽게 상상이 됩니다.
오늘의 수학님이 문제제기에 대해서 as하자면
3x 가 크냐 x 가 크냐라는 질문을 한 이유는 갯수가 많다는 것이 당연히 크다라는 의미를 갖지 않는다고 말씀드리기 위함입니다.
따라서 3i와 i 가 누가 크냐는 당연히 크기 비교를 하면 안되는 겁니다.
그런건 당연히 우리가 무엇을 다루는가에 따라 달라지는 것이며,
심지어 저는 수학에서는 존재 하지 않는것 (당장에 i), 크기를 갖는것과 갖지 않는것
못생긴것 등 그 헤아릴 수 있는 것등의 모든 것을 다룰 수 있는 다고 말씀 드리는 것입니다.
저는 오히려 인식론적장해는 역으로 작동하는 것이 아닌가 우려됩니다.
또한가지, i X 1은 i가 한개 있다는 것인데, 교환 법칙에 의해
1 X i 로 생각하면 어떠한가요? 1이 i개 있다는 것은 실존적으로 어떤상태를 설명하는가요?
물론 저도 아직 상상을 완료 하지 않았지만, 이것이 구체화 되면 수학적 진일보가 있을 것으로 생각합니다.
또한 i X i 즉 i 가 i개 존재하는 것이 어떠한 것인가? 상상할 수 있는가? 아니요 저도 못하겠습니다.
그렇지만 위의 내용은 정의죠. -1 로 받아 드려야 합니다.
하지만 그 모습이 어떠한지를 상상하는 것은 수학적 상상력에 도움이 됩니다.
저는 갯수로 이야기 해도 좋다고 생각합니다. 위의 문제는 좀 복잡하니 저것 보다는 좀더 쉬운 예를 설명 해보겠습니다.
2^1.5 정도 이죠.
이것은 2를 1.5번 곱했다는 이야기 인데요. 일단 1번을 곱하는건 알겠으니 1X2X(2를 0.5번 곱하는 것)
0.5번 곱하는 것에 대한 상상력을 가져 보세요. 1/2 번 곱한다는건 무엇인가 그럼 두번 곱해야 온전히 2가 곱해지는 것이니
2번 곱해야 온전히 2를 곱하게 되는 것은 루트2 그럼 2^1.5는 2루트2 라고 생각해 볼 수 있다고 봅니다.
이렇게 수를 갯수로 받아 드려 상상하는 것은 수학을 잘하게 되는데 도움이 될 것입니다. 또한 정수의 사칙연산도 말끔하게 설명되고요.
우리가 사과를 바라볼때 어떤 zoom level에 따라 사과 한개로 인식할 수도 있고, 탄수화물, 당분, 수분의 각각의 g수로
혹은 원자 레벨에서 수소, 산소, 탄소의 몰수로 바라볼수도 더 작게 쪼개서 바라볼 수도 있다고 봅니다.
열린 마음으로 수가 (혹은 갯수가) 의미하는 실존적 상상은 수학적인 이해에 큰 도움이 될것입니다.
