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우리나라에서 처음 실시된 로또복권은 ‘6-45방식’,즉 1부터 45까지의 번호 중에서 6개의 번호를 맞추는 것이다. 6개 번호의 순서는 상관없습니다. 먼저 45개의 번호에서 ‘A’라는 특정의 1개 번호가 뽑힐 확률은 45분의 1(1/45)입니다. 두번째 번호의 확률은 첫번째 1개 번호가 빠져나갔으므로 1/44, 세번째는 1/43, …, 여섯번째는 1/40 입니다. 따라서 6개의 번호가 순서대로 뽑힐 확률은 1/(45×44×43×42×41×40)=1/5,864,443,200 입니다.
그런데 로또복권에서는 6개 번호의 순서는 따지지 않으므로 로또복권의 1등 확률은 6개의 번호가 순서를 달리하며 나타날 수 있는 720가지(6×5×4×3×2×1)의 경우를 곱해야 하면 구할 수 있습니다. 따라서 로또복권 1등의 확률은 1/8,145,060 이 되는 것입니다.
이를 통계식으로 표시하면, n개의 번호에서 a개의 번호를 뽑는다고 할 때 경우의 수는 순서와 관계없이 번호만 맞는 경우는 nCa=n!/<(n-a)!×a!> 라고 나타냅니다. 즉 45C6=45!/<39!×6!>=8,145,060 인 것입니다. 6!=6×5×4×3×2×1=720 입니다. 여기에서 !는 팩토리알, C는 컴비네이션이라고 읽습니다.
3등은 1등 당첨번호 6개 중 5개와 일치해야 합니다. 따라서 1등 당첨번호 6개 가운데 5개를 포함하는 경우의 수가 6C5=6가지이고, 나머지 하나의 번호는 45개 번호 중 남은 39개 번호 가운데 하나를 뽑는 것이므로 39C1=39가지가 됩니다. 따라서 3등으로 당첨될 확률은 1등의 확률보다 234배(=6C5×39C1) 큰 1/34,808 이 됩니다. 그런데 이 3등 당첨번호들 중에서 특정의 행운숫자를 지닌 것을 2등으로 하고 있어 실제 3등 당첨확률에서는 이를 제외해야 합니다. 2등은 1등 당첨번호와 5개가 일치하는 것은 3등과 같으나 나머지 하나인 ‘?’는 39개 번호 아무 것이나 되는 게 아니라 행운번호에서 추첨된 하나의 번호만 됩니다. 따라서 2등 당첨확률은 1등의 6배이므로 1/1,357,510 입니다. 여기서 다시 3등 당첨확률을 계산하면 1/34,808-1/1,357,510=1/35,724 가 됩니다.
4등의 경우 1등당첨번호 6개 중 4개가 일치하는 경우는 6C4=6!/<(6-4)!×4!>=720/<2×24>=15 이고,나머지 39개 번호 중 2개 번호를 더 뽑는 경우의 수는 39C2=39!/<(39-2)!×2!>=741 이 됩니다. 따라서 4등 당첨확률은 1등보다 11,115배(=15×741) 큰 1/733 이 됩니다. 3개가 일치해야 하는 5등의 경우 6C3×39C3=(720/36)×(54,834/6)=20×9139=182,780 이므로, 당첨확률은 이만큼 1등보다 큰 1/45(182,780/8,145,060)이 됩니다.
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